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et comme, pour k < i, R 0> * est supposé dans R,, on aura 
Mo, A ^ M, ^ B, m 0 , k ÿnuÿ — b, 
donc, a fortiori , 
k=i 
■+■ B^o.i < îJo *+■ B 2 ô 0 ,a < yo -+- B^n 
k=l 
k—i 
y 0 ,i -i R,- > yo ^2 y° R » 
À = l 
ce qui prouve que R 0 , ( est encore dans R,. 
D'après cela, R 0)t étant dans Ri quel que soit i , on a toujours 
M 0 ,, ^ Mi et m 0 ,i 5 donc enfin 
i—r i=r 
Yî = i/o 2 M oAi <f i/o ■+■ Mi ^ A <" Y„ 
t—i i=i 
*=r i=r 
.vî = 3/o 2 ™ A -+- w*i 2 y»- 
t=I i=l 
S’appuyant sur ce premier résultat, on démontre encore de 
proche en proche que les régions R 2) , sont intérieures à R 2 , 
par conséquent 
à 2 < à 2 , > y,. 
On peut continuer ainsi jusqu'à ce que l’on obtienne 
Y'„ <: Y n , y' n yy n , 
ce qui prouve le théorème. 
17. Remarque III. — Des théorèmes et des remarques pré¬ 
cédentes découle une méthode nouvelle pour calculer l’inté¬ 
grale d’une équation différentielle par la détermination d’une 
limite supérieure Y„ et d’une limite inférieure y n . Mais nous 
ne nous occuperons pas, pour le moment, de cette question, 
sur laquelle nous reviendrons plus loin. 
