( 28 ) 
Si l’on se reporte aux premières inégalités du numéro actuel, 
on en conclut 
mod [<^X 5 l/ 0 +- a) — a — <|i(x, ?/0 >] ^ 2e, 
mod [t{;(x, i/o + a) — <]>(x, i/o'] 2e mod a, 
ce qui démontre le théorème 
84. II. y 0 ) est une fonction continue de x. 
Soient x et x -*> h (h > 0) deux valeurs de x ; divisons l’inter¬ 
valle (x 0 , x -t- /i) en un nombre indéfiniment croissant de 
parties 8 Â ., en prenant toujours x comme point de subdivision 
et calculons les régions R* comme il est convenu (n° 4), on 
aura, par définition, 
x+h x 
<Kx -+- h, i/o) = iim 2 MA, i/o) = lim2 MA, 
x„ X. 
d’où l’on tire 
*4 h 
<ji(x -+- /?, i/o) — ^(x, i/o) = lim 2 MA-, 
x 
et, par conséquent, puisque — a ^ M* ^ A, 
(I) . . . — ahï^ -+- h , i/o) — ^(x, i/o)^ A/?. 
On trouve une relation analogue pour /* négatif, ce qui 
démontre le théorème. 
85. III. Pour toute valeur de x satisfaisant aux conditions 
imposées à X au n° 5, <l(x, y 0 ) nm/ie /a relation 
<Kar, !/oi == i/o -+- / * A®» 
*0 
Soit X une valeur de x; considérons un mode quelconque 
de subdivision de X — x 0 en intervalles 8* par les points 
