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parties 8„ 8*,... o„ par les points #*, æ 2 ,... x n = X; nous aurons 
(1) . F(X) = ?/o -+- f Xl fdx f Xl fdx -+-•••-+- f(x, ¥)dx i 
X 0 X t Xn -i 
D’autre part, pour ce même mode de subdivision de X — x 0 , 
nous pourrons calculer deux sommes (n° 4) 
(-) • • • = ij 0 ■+■ Mj c?! -+- M 2 $ 2 -+-•••-+- M n -, 
(3) . . . y n = yo -+- • • • -+- 
Nous allons montrer que, si les 8 sont assez petits, tous les 
termes de la somme (1) seront compris respectivement entre 
les termes correspondants des sommes (2) et (3). 
Puisque F est continu et que le point (x 0 , y 0 ) est dans T, on 
peut prendre 8 t assez petit pour que le point 
x — x 0 -+- h, y — F(x u ■+• h) 
soit dans T, pour Dans ce cas, on a, dans l’intervalle 
(x 0 , x t ) de x, 
— « ^ f(x, F) <1 A, 
— a^, J x f[x , F)dx A£, ; 
X 9 
x 
donc F(æ), qui est égal à y 0 + J fdx , restera compris entre les 
limites 
JJo ct$\ • î/o+A^! 
et a fortiori entre les ordonnées extrêmes de R 4 . Par consé¬ 
quent, pour h^o { , le point 
x — x 0 ■+• h, y — F(x 0 -+- h) 
sera de plus compris dans R t . 
