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d’opérations, car 8* ne doit pas tendre vers zéro quand k aug¬ 
mente. En effet, on sait que les points successifs 
(•^1 j yi\ IJî}) • • • ) 2/a )5 • • • 
(jcq, Y^), (x%, \ ... ( X/g f ^ ;.), . . . 
ne sortent pas de la région rectangulaire limitée aux valeurs 
x 0 et X de x,y 0 — a(X — x 0 ) et -y 0 -+- A(X — x 0 ) de y\ par 
conséquent, le point [x k , F(#*)] qui est compris entre les points 
(x k , y k ) et (x k , Y*) ne pourra pas sortir de cette région, ni par 
conséquent tendre vers le contour de la région T, qui est à 
distance finie du contour de la précédente (n° 3). 
Le théorème est maintenant démontré, car l’équation (4) 
peut s’écrire aussi 
Un <f F(X) ^ Y n , 
et en passant à la limite, 
lim y n = lim Y n = y 0 ), y 0 ) = F(X), 
ce qu’il fallait démontrer. 
3. Autre manière de définir l'intégrale. 
On peut encore définir l’intégrale par des propriétés équiva¬ 
lentes à la relation (R). Donnons d’abord une définition. 
«9. Fonction ayant une dérivée intégrable. — Soit F(æ) une 
fonction simple et limitée de x dans l’intervalle (a, b) ; posons 
cp(x,/«) = 
F(x -+- h) — F(x) 
h 
et supposons que <p(#, h) ne puisse croître indéfiniment pour 
aucune valeur de x dans l’intervalle (a, b), quand h tend vers 
Tome XLYII. 3 
