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zéro en restant de même signe. Pour toute valeur particulière 
de x, <p(Æ, h) est une fonction de h qui admet des limites 
maximum et minimum dans l’intervalle (-+- 0, -+- s) des valeurs 
de h. Quand s tend vers zéro, ces limites supérieures et infé¬ 
rieures (étant respectivement décroissantes ou croissantes) 
tendront vers des limites déterminées. On peut les représenter 
par L r+0 et 4 +0 , qui sont des fonctions de x seulement. 
De meme, ç(æ, h) admet des limites supérieures et infé¬ 
rieures dans l’intervalle (— 0, — s) des valeurs de h ; quand e 
tend vers zéro, ces limites supérieures et inférieures tendent 
elles-mêmes vers des limites déterminées L c _ 0 , /*_ 0 . 
Nous représenterons par L x et l x deux fonctions de x, dont 
la première a pour valeur la plus grande des deux expressions 
L x _ 0 , L x+0 ; et la seconde, la plus petite des deux expressions 
Si les fonctions L x et l x sont intégrables dans l'intervalle (a, b) 
et si l'intégrale J (L x — l x )dx est nulle, nous dirons que F(x) a 
a 
une dérivée intégrable dans l'intervalle (a, b). 
30 . Théorème. — Si F(x) a une dérivée intégrable dans 
l'intervalle x 0 x, on aura la relation 
F(.r) — F(x„) = / X \< x dx = J x l x dx. 
i. 
Donnons, en effet, à x une série de valeurs successives 
x 0 , Xi, x 2 ... x k ... x, et posons x k — «r A _i = §*, on aura identi¬ 
quement 
,, , „ , v 'FW-F(iJ, 
h( x ) = F(x„) 
/y» __ y» 
Xo d k J A—1 
et en faisant tendre tous les intervalles vers zéro, 
r , , n , , V F W— F (*‘-') , 
F (x) = F(jr ) + lim>- iï k . 
x. J A-— 1 
