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Le théorème sera évidemment démontré, si l’on peut établir 
que, pour un intervalle quelconque à k , on a la relation 
max 
_ F(.rd—F(x*_,)_ 
L - >-- 
X i ' : 
> min l x , 
le maximum et le minimum se rapportant à l’intervalle h k . 
Cette démonstration est facile. Supposons, par exemple, 
que la première de ces deux inégalités ne soit pas satisfaite; 
on pourra trouver un nombre positif a assez petit pour véritier 
l’inégalité 
F(x k ) — F (x k _j) 
3 k ‘T k—l 
> max L x h- a. 
Nous allons voir que cette hypothèse est absurde. 
Divisons l’intervalle x k ) en n parties égales par les 
points : 
Xk-i > X k $i 
X 
k,i » 
••• î 
Xk,n = Xk ; 
s" [F (x — F (x M _ 4 ) ] 
i=i 
S [x* ti — 
ï=i 
et par un théorème connu, 
F x*) — F(x,_0 
--= rdC 
X k —x k _ { 
' F(xJ — F(x,,,_ t ) 
X k,i Xk i — I _ 
, (i= \, % ... n), 
on aura identiquement 
F(xjfe) ■— F(Xfc_i) 
x A — X*_, 
le second membre représentant une moyenne entre les valeurs 
