un point de l’intervalle 8*, auquel se rapporte le maximum 
de L r . 
3t. Théorème. — Si y = F(x) est l'intégrale d’une équation 
différentielle , F(x) a une dérivée intégrable. 
Cela résulte a priori de ce que F(æ) est l’intégrale définie 
d'une fonction de x intégrable u = f[x, F(«r)]. (Troisième 
propriété, n° 2o.) 
3a. Théorème. — La fonction F(x) qui est continue , qui 
satisfait à l’équation différentielle = f(x, y) pour des valeurs 
de x dans tout intervalle, qui a une dérivée intégrable et qui se 
réduit à y 0 pour x = x 0 , est unique : c’est l'intégrale de l’équation 
différentielle. 
F(æ) ayant une dérivée intégrable, on a, par le théorème du 
n° 30, 
F(x) = t/o -t- / *L x dx, 
et, par conséquent, pour un mode de subdivision de x — x 0 en 
intervalles indéfiniment décroissants par les points x 0 ,x t ,x 2 ,... 
x n = x , on aura aussi, en posant x k+{ — x k = Ax k , 
k=n — I 
F W = .V„ -+- lim 2 
k= 0 
F(æ) satisfait, par hypothèse, à l’équation différentielle pour 
des valeurs de x dans tout intervalle; si nous prenons toujours 
de telles valeurs comme points de subdivisions de l’intervalle 
x — x 0 , on aura, quel que soit k , 
•'(a;*) = f[x k , F(ar*)], 
