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et, par conséquent, 
k=n -1 
F(x) = y 0 -*~ iim 2 /]>*, F(x*)] Ax*. 
A-0 
Cette équation peut s’écrire conventionnellement sous la 
forme 
i 
(R r ) .... F(.r) = i/olim 2 /(^j F) Ax, 
lo 
et en raisonnant sur l’équation (R') comme sur l’équation (R) 
dans la démonstration n° 28, on trouve F(æ) = <|;(æ, y 0 ). Donc 
F(x) est l’intégrale de l’équation différentielle. 
33. Remarque. — L’utilité de ce théorème est de fournir 
un moyen pratique pour reconnaître si une fonction particu¬ 
lière y = F(æ) est l’intégrale de l’équation proposée 
dif 
dx 
= /'(*> y)- 
Quand f est continue, il suffit pour s’en assurer de vérifier 
l’identité 
<*F(.r) 
dx 
- /‘(x, F), 
ce qui peut se faire immédiatement. Mais, dans le cas contraire, 
cette condition est remplacée par celle-ci 
F(x) = i/o -+- f X f(r, F )dx, 
*o 
dont la vérification exige une intégration. Cette intégration 
devient inutile, si l’on s’appuie sur le théorème qui précède. 
Nous en verrons un exemple plus loin (n° 37). 
