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la condition : lim D n = 0, se réduit évidemment à 
lim Y Aû-ox = 0. 
Divisons lïntervalle [y 0 — a(X — x 0 ), -y 0 *- A(X — £<,)] que 
nous désignerons par ( y ' 0 , y' m ), en m parties égales % par les 
points y' 0 , y\, î/ 2 , ... y r m et soit A# f * l’oscillation de f[x, y[) dans 
l’intervalle (æ,_, , xi) de x. L’expression A ix est égale au maxi¬ 
mum [dans l’intervalle (y i _ l — bùx, Y,_i -+- B8 æ) de y] de 
l’oscillation de f(x, y) dans l’intervalle (x^, xi) de x, laquelle 
est fonction de y ; A,-* sera donc égal au maximum de cette 
oscillation, dans un des intervalles oy, par exemple, dans 
l’intervalle y' k ). Dans ce cas, on aura 
A ix ^ A,-* -t- 2M<fy, 
car, pour toute valeur attribuée à x, f(x, y) varie d’une quan¬ 
tité inférieure à M oy, quand y varie d'une quantité inférieure 
à 8 y. 
On aura évidemment, a fortiori , 
A,* < Ai >4 4 - A t)2 -h • • • -+- A;, m 2M(b/. 
Multipliant par 8a;, et faisant la somme des inégalités cor¬ 
respondantes, pour / = 1 , 2, ... n, on trouve 
*=» i—n i=n i—n 
2 A ix £r <f 2 A lfl âx 2 A t -, 2 <?x 4- •••-+- 2 A^x 4- 2M <b/(X — x 0 ). 
i=i i=l ’ i=i «=1 
Puisque f(x, y[) est une fonction intégrable de x , on aura, 
i—n 
quel que soit k, lim X A,,*8.r — 0; par conséquent, 
»=i 
\—n 
lim 2 A fx <Lc <"2M<?y'X — x 0 ). 
