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plement intégrables. En effet il n’est pas difficile de voir que 
la fonction y définie par cette équation satisfait à l’équation 
différentielle pour des valeurs dex dans tout intervalle, qu’elle 
possède une dérivée intégrable, et qu’elle se réduit à y 0 pour 
x = x 0 . Elle se confond donc nécessairement avec l’intégrale 
de l’équation différentielle (n° 32). 
3° Fonctions discontinues de x et de y. 
38. Notre but est de montrer qu’il existe des cas où l’équa¬ 
tion 
dy 
j- = A*> y) 
dx 
peut s’intégrer et admet une intégrale unique, même quand 
f(x , y) est une fonction discontinue de x et de y. Nous en 
chercherons donc un exemple, le plus simple possible. 
Soient tp(#) et ty(y) deux fonctions de x et de y seulement. 
Nous supposons qu’elles sont toutes deux positives, que la 
fonction ty(y) est limitée, enfin que 'la fonction y(x) s’annule 
dans tout intervalle et est intégrable. 
L’équation différentielle 
peut s’intégrer, et son intégrale générale est y = y 0 . 
Considérons un mode particulier de division de l’intervalle 
(x 0 , x) par les points x 0 , x { , ... x t ... x\ posons x { — — o,; 
soient L, la limite supérieure de <p(æ) dans l’intervalle o,-, P la 
limite supérieure de fy(y) dans l’intervalle total que l’on 
considère, M, et m t les limites supérieures et inférieures du 
