( so ) 
limitée inférieurement puisque X„ appartient à la région H, 
elle aura donc une limite inférieure X. Je vais démontrer que 
X„ converge vers X, quel que soit le mode de subdivision 
employé. 
Soit e une quantité donnée. Par définition de X, on peut 
trouver un mode de subdivision N, pour lequel on aura 
x^x„^x 
Soit o le plus petit intervalle du mode N et a une quantité 
satisfaisant aux relations 
nX'y. < (A' — A)Æ, ntt* < (B' — B)J, «C'a < (C'--C)J, 
na<x < (a' — a) c?; nb'x < (b' — b)â; ne' a < [c — r)c?, 
et de plus à la condition 
e 
nAa < -. 
’2 
Considérons une somme X' n , obtenue pour un mode quel¬ 
conque de subdivision N' de (/ 0 , T) en parties plus petites 
que a; on aura par notre lemme préliminaire 
X < x; < X„ -4- n Aa < X n 4- l 
et, par conséquent, 
X < x: < X -4- e. 
Puisque £ est arbitrairement petit le théorème est démontré. 
Un raisonnement analogue prouve que.r n tend vers sa limite 
supérieure x. 
On verrait encore par le même raisonnement que Y„ et Z„ 
tendent respectivement vers leurs limites inférieures Y et Z ; 
y n et z n vers leurs limites supérieures y et z. 
