( SI ) 
§ 3. Première généralisation du théorème. 
10. Théorème. — Les limites X et x, Y et y, Z et z restent les 
mêmes quand on substitue aux nombres A' et a', B' et b', C' et c 
des nombres respectivement moindres A" et a", B" et b", C" et c", 
lesquels sont respectivement égaux ou supérieurs aux nombres 
Ada, B ^b, C et c et satisfont aux relations 
A' a’ B' b ’ C' c' 
Â 7 ' = âP = B 7 ' = ¥' = CT ^ c 77 
Pour distinguer les régions R* et les coordonnées X*, ... 
calculées d’une part avec les nombres A', a ;..., de l’autre avec 
les nombres A", a" ; ... , nous les affecterons de l’indice cor¬ 
respondant (RI, X*, ... ou bien RI’, X*, ...). 
11. Pour un même mode de subdivision (N) de l’inter¬ 
valle tjï en il parties, puisque A' > A", a' > a" ; ..., on voit 
immédiatement de proche en proche que toutes les régions RI 
débordent les régions RI; on aura donc 
V 9 = \ r n 
L * n ? 
Y' 
1 n 
= V" 
> 1 n, 
t = rr . 
t 
- t t 
< X n ; 
Vn 
< Un ; 
1*. D’autre part, conservons les sommes X’„’, Y',', Z',', mais 
comparons les à des sommes nouvelles X',., Y'„-, ZI-, calculées 
en employant encore les nombres A', a';...mais pour un 
nouveau mode de subdivision (N') obtenu en intercalant de 
nouveaux intervalles dans ceux du mode (N). Nous allons voir 
que si les nouveaux intervalles sont assez petits, on peut 
trouver des inégalités de sens contraire aux précédentes. 
Soit a un nombre aussi petit que l’on veut; déterminons 
le mode de subdivision (N') en subdivisant tous les intervalles 
