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du mode N en parties inférieures à a; pour cela, décompo¬ 
sons, en général, en r parties par les points t k , 4,21 ... 
h,r == tk+l- 
Posons encore o ki = t M — 4,,-_, ; soient enfin, R*,, la région 
(calculée avec A', a' ...) qui correspond à 8* )t -; X* it , x\ A ; ... les 
coordonnées qui correspondent à 4,,, et XO, x' k <, ... celles qui 
correspondent à t k pour le mode de subdivision (N'). 
Nous allons démontrer que l’on aura 
K H- 5"A'a, 
x',^> X” — 5" a 'a] 
y;,<:y;; ^ 5"b a, 
.Vu- 5 Vn — 5 "//a; 
Z'^Z''-*- 5" C'a, 
!> 2» — O" c'a. 
Ces inégalités sont vérifiées évidemment pour n = 0 ; il suffit 
donc, pour les établir en général, de démontrer que si elles 
sont vraies pour n = k, elles le seront encore pour n — k -+- 1. 
Faisons cette démonstration. 
Si les équations (1) sont vérifiées pour n = k, on a, par 
hypothèse, 
5*A'«, 
x [."> x'k — 
y;. ^ y;' - 4 - 5* B'a, z;. <: r; 5*c'«, 
y'k ÿy'i — — 5 *c'«. 
Cherchons d’abord à déterminer une limite supérieure de la 
somme (4+, — 4,0 des intervalles o kJ auxquels peuvent cor¬ 
respondre des régions R*,, qui débordent R* + i. Soit, à cet effet, 
Ra-,/ + i la première des régions successives R* (1 , R* i2 , ... R*,,, ... 
qui déborde R* +1 . 
Les coordonnées extrêmes de la région R* /+J sont : 
/ x *,* " 4 “ 
\ x k ,i —* a'à k ,i+ J 
/Y;,, + b'j w \ 
' !/k,l —" b àk,l+j‘ 
/Z*,i + £'d k ,n-t 
\ z k,i c $k,i+1 
