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d’autre part, A un nombre égal à L si L est positif, et à zéro 
dans le cas contraire; a un nombre égal à — / si / est négatif, 
et à zéro dans le cas contraire; A* et a, des nombres définis 
d’une manière analogue par rapport à L, et l { . Soient, enfin, 
[x 0 , |/o, ft) o, ••• (fp-Oo] un point initial pris dans la région R, 
et X une valeur de x qui satisfasse à des conditions corres¬ 
pondant à celles du n° 3. 
Subdivisons l’intervalle (X — x 0 ) en n parties égales ox et 
déterminons, comme au n° 4, des régions successives R* en 
employant des nombres constants A', a'\ A-, al respectivement 
supérieurs à A, a; A, et a t . Nous calculerons ainsi des sommes, 
analogues à celles du n° 4, 
Y„ et y n , (T t ) n et (t t ) n , (i = \ , 2, ... p — \ ). 
On aura, dans le cas actuel, 
= [Y„ — y n ] -h [(T,)„ — (/,)„] h--h [(T p _ 1 ) n — (f p _i)„], 
et il y a intérêt à savoir ce que devient ici la limite supérieure 
de D„. 
Pour cela, désignons par A kx le maximum dans la région R* 
de l’oscillation de f(x, y, t l9 ... ^_ t ) quand x seul varie, 
et soit H la limite supérieure du module des dérivées 
fùix, y, Zi, ... tu ...) supposées existantes. Comme on a évi¬ 
demment max ^ = 1, l’équation (4) du numéro précédent 
deviendra, dans le cas qui nous occupe, 
(3) 
(A'- 
a 
A' + fl,' + -«*)(îx + ^ 
t.—i 
l-4-H)(T—/ 0 ) 1 
