2° Fonctions discontinues de t seulement. 
39 . Le système d’équations 
dx , dy dz 
~~ fVi %•> t), = fî{j- ? y) z, t), = fô[%i y •> t ) 
sera intégrable dans la région R, si les dérivées partielles de 
fj, f 2 et f 5 par rapport à x, y et z existent et sont limitées supé¬ 
rieurement et inférieurement, et si les fonctions f t , f 2 et f 3 sont des 
fonctions intégrables de la variable t, pour tout système parti¬ 
culier de valeurs de x, y et z dans cette région, 
La condition lim D ra = 0 se réduit ici, d’après la formule 4 
(n° 20), à lim U = 0, c’est-à-dire 
i=zu t—n i=n 
üm2 (A|),ot = 0, lim2 (Al),* = O, Iim2 (A{),* = 0. 
1 i—1 i=l 
Pour établir ces relations, divisons respectivement en m par¬ 
ties égales les trois intervalles 
x 0 — a(T — g, x 0 ■+■ A(T — f Q ) de x ; 
y 0 — 6(T — t 0 ), y 0 -+- B(T — /„) de y; 
z 0 — c(T — g, z 0 -4- C(T — g de z. 
Le premier, que nous représenterons plus simplement par 
(4, x’ m ), en parties 8x, par les points x' 0 , x\,x\, ... x' m ; 
Le second (y J,y' m ) , en parties 8y, par les points y' 0 , y[,y*, .. .t/™ ; 
Le troisième (4,4»), en parties 8z, par les points 4 , Z |, Z %... Z m . 
Cela fait, soit (A,)^ l’oscillation de f x (Xk, ÿ h , z\, t ) dans 
l'intervalle (£,_ t , tf) de t. 
