( 74 ) 
APPENDICE. 
COMPARAISON DES PRINCIPALES DÉMONSTRATIONS 
DE L’EXISTENCE DES INTÉGRALES (*). 
Toutes les démonstrations qui ont été proposées jusqu’ici 
pour établir l’existence des intégrales d’un système d’équa¬ 
tions différentielles à une seule variable indépendante, sup¬ 
posent essentiellement la continuité des fonctions qui entrent 
dans ces équations, et diffèrent notablement par là de celle qui 
a fait l’objet du Mémoire actuel. Nous croyons cependant utile 
d’en dire quelques mots, pour mettre en relief les rapports 
que notre démonstration peut avoir avec celles-là, et pour 
indiquer comment chacune de ces démonstrations pourrait, 
par une généralisation convenable, s’étendre au cas des fonc¬ 
tions discontinues dans lequel nous nous sommes placé. 
Comme les considérations développées dans les pages qui 
précèdent concernent exclusivement le cas où les variables 
sont réelles, nous commencerons par écarter de notre com¬ 
paraison toutes les démonstrations où l’on doit supposer 
les variables imaginaires, telles que la démonstration de 
Cauchy dite au moyen clu calcul des limites et toutes celles 
qui en dérivent (**). Cela fait, on peut ramener les démon- 
O Cette dernière partie, qui a été rédigée en vue de répondre à un 
désir exprimé à la fin du savant rapport de M. Mansion, a été approuvée 
par les trois commissaires qui ont examiné mon Mémoire. 
(**) Voir l’énumération de ces recherches dans la Notice historique de 
M. Mansion ( Annales de la Société scientifique de Bruxelles , 1891, t. XVI, 
l re partie, pp. 32-36 et 60) et dans le Nachtrag I de la Théorie der par- 
tiellen differential-Gleichungen , etc., du même auteur (Berlin, Springer, 
1892, pp. 26-30). 
