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strations en question à trois types nettement distincts : 
1° La démonstration de Cauchy; 
2° La démonstration par approximations successives de 
M. Picard ; 
3° La démonstration de M. Peano. 
Quoique la plus ancienne (1844), la démonstration de 
Cauchy est la plus satisfaisante des trois, et celle qui va le plus 
au fond des choses. Ce n’est pas une simple démonstration 
d’existence : elle fournit en même temps une méthode 
d’approximation des intégrales. Au contraire, la méthode de 
M. Picard ne peut plus servir au calcul approché que dans des 
cas particuliers, et cet avantage disparaît complètement dans 
celle de Peano. 
Ces démonstrations peuvent se généraliser toutes les trois, 
mais la démonstration qui fait l’objet du Mémoire actuel est la 
généralisation de celle de Cauchy, qu’elle renferme comme cas 
particulier, et elle diffère essentiellement des deux autres. C’est 
ce que nous allons mettre en pleine lumière par une analyse 
rapide de chacune d’elles. 
1° Méthode de Cauchy (*). — La méthode de Cauchy, aussi 
(*) Nous ne connaissons la démonstration de Cauchy que par les Leçons 
de calcul intégral, publiées en 1844 par l’abbé Moigno (pp. 385-434 et 
513-534). Elle a été reprise et complétée par Ph. Gilbert dans les quatre 
éditions successives de son Cours d'analyse (Paris, Gauthier-Yillars, 
1872, 1878, 1887, 1892). Lipschitz a précisé, mieux qu’on ne l'avait fait 
avant lui, les hypothèses nécessaires à la démonstration ( Lehrbach der 
analysis, t. II, 1880, sect. I, chap. XI), et la démonstration de Lipschitz 
se retrouve sans changement essentiel dans le Traité d’analyse de 
M. Ém. Picard (Gauthier-Villars, 1892, t. II, pp. 291-301). Cependant, a 
d’autres points de vue, les démonstrations que l’on trouve dans Moigno 
et Gilbert sont plus complètes que celles de Lipschitz et Picard; ainsi ce 
théorème important que les intégrales sont fonctions continues de leurs 
valeurs initiales, est démontré par les deux premiers auteurs et ne l'est 
pas par les seconds. (Voir n° 23, l re et 2 e partie du présent Mémoire.) 
