naturelle que possible, prend son point de départ dans la 
véritable origine des équations différentielles, en les considé¬ 
rant comme limites d’une succession d’équations aux différences 
finies (*), et, par suite, leurs intégrales comme des limites de 
sommes, analogues aux intégrales définies. 
Voici, en nous bornant au cas le plus simple, celui d’une 
seule équation = f(x, y), en quoi consiste cette méthode : 
On partage l’intervalle (x 0 , x) en n intervalles par les points 
x 0 , x^ x ü , ... x n = x , et l’on forme les équations aux diffé¬ 
rences : 
Vi — .Vo = fa — x 0 ) /(x 0 , t/ 0 ), 
3/2 — Vi = (*a — *i) 
V —yn-i = (x — X n -é)[(x n -l,yn-é), 
d’où 
»—n — 1 
y =3/0 + 2 (^i +1 “ x t ) f (ar„ 3 /<). 
i=0 
Ces équations déterminent successivement y { , y 2 , ... t/ n _ 4 , */. 
On démontre alors que, moyennant certaines conditions de 
continuité (**), cette expression y tend vers une limite déter¬ 
minée quand, x restant fixe, on fait tendre tous les intervalles 
vers zéro, leur nombre croissant indéfiniment. Cette limite est 
l’intégrale dont on veut établir l’existence et, de plus, la somme 
** 
(*) Ém. Picard, Traité d'analyse, t. II, p. 304. 
O Ces conditions sont toutes contenues dans celles du n° 35 (pre¬ 
mière partie). En particulier celles de Lipschitz (voir la note de la page 
précédente) sont les suivantes : 
La fonction f(x,y) est continue dans la région considérée, et, de plus, 
il existe une quantité positive k , telle que l’on ait 
mod [f(x, t/ 2 ) — f(x, y, ] < A: mod (î/ 2 — yù, 
pourvu que les points (x, î/ 2 ' et (•£, y i) soient dans cette même région. 
