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calculée y est une valeur approchée de cette intégrale. Comme 
on peut, pour un mode de subdivision donné, calculer une 
limite supérieure de la différence entre y et sa limite, c’est-à- 
dire une limite de l’erreur commise, on voit que la démons¬ 
tration de Cauchy fournit une méthode pratique de calcul 
pour l’intégrale. 
Ces conclusions de Cauchy sont évidemment une consé¬ 
quence des résultats acquis dans le Mémoire actuel. En effet, 
si, pour le mode de subdivision de l’intervalle (æ 0 , x) dont il 
vient d’être question, on calcule les deux sommes Y„ et y a 
comme nous l’avons indiqué au n° 4 (première partie), il est 
clair, par le raisonnement déjà si souvent employé, que les 
sommes Y„ et y n comprendront entre elles la somme y de 
Cauchy. Par conséquent, dans tous les cas où les sommes Y„ 
et y n tendront vers une limite commune, et, en particulier, 
dans les hypothèses du n° 34 qui sont celles de Cauchy, la 
somme en question y tendra vers cette même limite, qui est, 
comme nous le savons, l’intégrale de l’équation différentielle. 
Mais nous établissons en outre, comme conséquence de notre 
analyse, que cette somme y, calculée comme le fait Cauchy, 
peut encore tendre vers une limite unique et déterminée, 
même dans des cas où la fonction f(x, y) serait discontinue. 
On voit ainsi que la généralisation que nous avons faite de la 
démonstration par laquelle Cauchy établit l’existence des inté¬ 
grales des équations différentielles, correspond exactement à 
la généralisation faite par Riemann de la démonstration de 
l’existence des intégrales définies. 
Enfin, la méthode que nous proposons est plus avantageuse 
que celle de Cauchy pour les calculs d’approximation, puisque 
les sommes Y n et y, n calculées comme au n° 4, sont des valeurs 
approchées par excès et par défaut de l’intégrale, qui laisseront 
beaucoup moins d’incertitude sur le résultat que les formules 
correspondantes de Cauchy pour le même mode de subdivi¬ 
sion. D’autre part, les formules du chapitre II permettent 
d’assigner d’avance un nombre de subdivisions assez grand pour 
