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obtenir le degré d’approximation dont on a besoin, puisqu’elles 
fournissent une limite supérieure de la différence Y„ — y n (*). 
Toutes ces considérations s’étendent sans difficulté au cas 
de plusieurs équations simultanées, et nous ne nous y arrête¬ 
rons pas. 
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2° Démonstration de M, Picard. — M. Em. Picard a publié 
dans le Journal cle mathématiques (1890) une démonstration 
nouvelle de l’existence des intégrales (**). 
Il ne considère plus l’intégrale comme une limite de somme, 
mais il la définit par une suite illimitée de quadratures succes¬ 
sives, comme nous allons l’indiquer. 
Supposons, pour simplifier, qu’on ait l’équation unique 
et soit y 0 la valeur initiale de y; on calcule, de proche en 
proche, une suite indéfinie de fonctions y lt y%, ... y n ... par les 
relations successives 
J O 
(*) C’est ici le moment de se poser une question : Pour le calcul appro¬ 
ximatif, quelle valeur convient-il de donner aux nombres A* et au qui 
servent au calcul des régions successives R* (n° 4i? Il faut leur donner 
la plus petite valeur possible, afin de resserrer la différence Y„ — y n , 
mais de manière cependant que Y„ et y n comprennent toujours leur 
limite. Pour cela, il faut prendre A* = A et au = a (n° 2), et l’on peut 
même faire A* = 0, ou a* — 0, si A ou a est nul, en vertu de la remarque 
du n° 16. Cette remarque s’étend d’elle-même aux équations simultanées. 
(**) Cette démonstration, dite par approximations successives, est repro¬ 
duite dans le Traité d'analyse de M. Picard, t. II, pp. 301-304. 
