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et Ton démontre que, moyennant certaines conditions de con¬ 
tinuité (*), et dans un intervalle suffisamment petit des valeurs 
de x, comprenant la valeur initiale x 0 , y n tend vers une limite 
déterminée, fonction de <r, quand n tend vers Fin fini. Cette 
fonction est l’intégrale cherchée, et cette intégrale est unique. 
Cette démonstration, qui repose sur un mode de raisonne¬ 
ment d’un usage fréquent et d’une grande utilité dans la 
théorie des fonctions, est remarquable par sa grande simpli¬ 
cité, mais elle se prête mal au calcul approché, sauf dans le 
cas exceptionnel où chacune des quadratures successives peut 
s’effectuer exactement. 
A vrai dire, cette démonstration ne présente pas de rapport 
immédiat avec la nôtre, mais il importe de remarquer qu’elle 
pourrait se généraliser comme celle de Cauchy et s’étendre, 
plus facilement même que celle-ci, au cas où les équations 
différentielles renferment des fonctions discontinues (**). 
Toutefois, comme la démonstration de M. Picard est moins 
naturelle que celle de Cauchy, et ne conduirait pas à des 
résultats aussi nets, nous croyons que, dans cet ordre de 
recherches, il vaut mieux prendre comme point de départ la 
démonstration de Cauchy, ainsi que nous l’avons fait. 
3° Méthode de M. Peaxo. — Les méthodes de Cauchy et de 
C.' 
M. Picard ont comme caractère commun de définir l’inté¬ 
grale par des conditions plus particulières que la simple con¬ 
dition de vérifier les équations différentielles; de plus, elles 
O Les conditions de Lipschitz (voir la note, page 76). 
(**) En particulier, si l’on adopte la définition généralisée de l’intégrale 
que nous avons donnée au n° 22 (l re partie), il y a très peu de choses à 
changer à la démonstration de M. Picard pour établir, par la même voie, 
l’existence et l’unité de l’intégrale dans les conditions où nous nous 
sommes placé au n° 35 (l re partie). On peut aussi faire la même remarque 
pour le cas des équations simultanées. 
