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exigent essentiellement, pour réussir, que les intégrales soient 
uniques, c’est-à-dire complètement déterminées par leurs 
valeurs initiales. C’est aussi, nous semble-t-il, le seul cas où 
l’on puisse dire que les équations différentielles soient inté¬ 
grables, car, une équation différentielle nous apparaissant avant 
tout comme un mode de génération des fonctions, leur étude 
n’a d’intérêt que si leurs intégrales sont déterminées, sauf, 
peut-être, pour des valeurs exceptionnelles des variables, 
comme dans le cas des solutions singulières qui se rencontrent 
en analyse. 
Quoi qu’il en soit de cette remarque, M. Peano se place à un 
point de vue tout différent de celui des auteurs précédents : il 
ne définit les intégrales par aucune autre condition que par 
celle de vérifier les équations différentielles, et il montre 
qu’étant donné le système d’équations entre n fonctions incon¬ 
nues de t, 
dx { 
~~f~f / i 0» 
(* = 1 , 2 , ... »), 
la continuité des fonctions f { par rapport aux variables suffit 
pour établir l’existence d’un système au moins d’intégrales, 
prenant des valeurs initiales données, mais il peut, en général, 
en exister une infinité. 
La démonstration dont nous parlons a fait l’objet d’un article 
étendu publié dans les Mathematische Annalen (t. XXXVII, 
pp. 182-228) (*), mais elle ne présente, ni dans son objet pro- 
O Cette démonstration, rédigée à l’aide des symboles de la logique 
algébrique, est d’une étude très pénible pour ceux qui ne sont pas fami¬ 
liarisés avec ces notations. Nous avons donné du même théorème une 
démonstration plus simple dans les Annales de la Société scientifique de 
Bruxelles (t. XVII, l re partie, pp. 8-12). Tout ce que nous disons ici de la 
démonstration de Peano s’applique aussi à celle-là, qui ne diffère pas 
essentiellement de celle de Peano. 
