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inférieure de toutes ces fonctions sera une relation y — F(.n 
qui vérifiera l’équation différentielle. De même, la limite supé¬ 
rieure de toutes les fonctions dont la dérivée est constamment 
trop petite, en sera une autre. Celle-ci coïncidera nécessaire¬ 
ment avec la première si l’équation n’admet qu’une intégrale 
unique. 
Dans sa démonstration, M. Peano ne considère pas, comme 
ci-dessus, des fonctions continues quelconques, et c’est préci¬ 
sément le procédé qu’il emploie pour former des fonctions 
dont le coefficient différentiel est constamment trop grand (ou 
trop petit), qui rappelle notre méthode. Les fonctions de Peano 
sont figurées par des lignes polygonales telles que le coefficient 
de direction de chacun de leurs côtés soit constamment supé¬ 
rieur (ou inférieur) à la valeur de f(x,y) tout le long de ce 
côté, ce qui appelle évidemment le rapprochement avec la 
manière dont nous déterminons les sommes Y„ et t/,. dans 
notre méthode; mais le rôle de ces fonctions est absolument 
différent dans la démonstration de Peano ou dans la nôtre, et 
Finlégrale n’est pas considérée comme une limite de somme 
dans la méthode de Peano. Cette dernière méthode est extrê¬ 
mement simple, parce que l’auteur se borne strictement à une 
démonstration d’existence et supprime tous les calculs qui ne 
sont pas nécessaires à cet objet, mais, en revanche, elle ne con¬ 
tient, sous la forme qui lui est donnée, aucune formule utile 
pour le calcul approché des intégrales. 
