La série de Kummer (*) 
log r(tf') — - log 2 ic — - loi; (2 sin ira) 
(B). . 
I 1 1 "S 9 log n . 
f h—(C -4- log2?r)(l—2«) h— ^ — sin2/fya, 
i 2 t n — K n 
C = 0,577... désignant la constante de Mascheroni, est une série 
trigonomélrique, convergente dans le sens ordinaire du mot, 
et ne représente la valeur de la fonction que dans l’intervalle 
0 < a < 1. Mais si hétérogènes que les deux développements 
paraissent au premier abord, on peut démontrer que tous 
deux découlent d’une même source et qu’ils sont contenus 
dans une formule plus générale dont ils ne sont que des cas 
spéciaux. Le but du présent mémoire est de mettre cette 
relation en évidence et de tirer quelques conséquences de la 
nouvelle formule. 
I. 
Nous prenons le départ de nos recherches dans la représen¬ 
tation connue du logarithme de la fonction gamma 
log T (a) 
-f (e-*(o — 1) — 
dx 
x 
la quantité a étant supposée positive. Dans cette représen¬ 
tation, on peut développer l’intégrale du second membre en 
une série trigonométrique, en faisant usage de la formule 
h=+oo Jî7nha 
= V —- 
(*) Journal de Crelle, t. XXXV. 
