équation importante et générale qui a été découverte par 
Euler (*) et qui, plus tard, a été l’objet d’études approfondies 
de M. Lipschitz (**) et de Kronecker (***). On sait, d’après la 
théorie des séries de Fourier, que cette équation n’est admis¬ 
sible que dans l’intervalle 0 < a < 1 et que, pour les valeurs 
extrêmes de l’intervalle, la série représente la moyenne arith¬ 
métique des deux valeurs de la fonction du premier membre, 
de manière que 
| 1 t e~ 1 1 e'* 1 -+- e~- x 
f O) • • • ‘ yr " - j * ? 
» x-+ 2 7nh 2i — e~* 
la somme devant s’étendre à autant de valeurs positives que 
négatives de l’indice h. De l’équation (2', en faisant tendre x 
vers zéro, on tire 
çïTriha 
sin 2 rha 
---(0 < a < 1), 
le trait au signe X indiquant que la valeur zéro est exclue dans 
la sommation. Si l’on introduit les développements (2) et (4) 
dans la représentation (1) de la fonction gamma, on retrouve 
la formule-de Kuinmer. En effet, d’abord on a 
A est indépendant de a , et, par suite, 
log r(tt) — A 
-/ 
90 dx 
j-ee g2T</m ' 
X 
h—* oc 
'licUl 
— e~ 
J 1 
2 TTlh 
C) Calculus integralis, t. IV, suppl. v, 6, § 189. 
l’*) Journal de Crelle, t. LIV, p. 313. 
(***) Ueber eine bei Amuendung der parliellen Intégration nutzliche 
Formel. Mémoires de l’Académie de Berlin, 1884. 
