( 10 ) 
qui a été développée en série trigonométrique, satisfait à la 
relation fonctionnelle 
<p(v -+-!) = cp(v), 
et par conséquent la série représente la fonction encore pour 
les valeurs extrêmes de l’intervalle. 
Il nous reste encore à calculer les coefficients R„. Ces coeffi- 
cients s’expriment au moyen du logarithme intégral introduit 
par Soldner : 
Mais, comme nous avons à considérer la fonction pour un 
argument complexe, il est préférable de suivre une idée de 
Gauss, que l’on trouve dans une lettre à Bessel, du 18 décem¬ 
bre 1811 (*), et d’introduire, au lieu du logarithme intégral de 
Soldner, une autre fonction Ei (s) qui est en étroite connexion 
avec ce logarithme. Nous définissons Ei(z) par l’intégrale 
(15) 
ou bien comme une solution de l’équation différentielle 
dEi ( z) e : 
dz z 
qui s'annule pour des valeurs positives de z , croissantes indé¬ 
finiment. En intégrant par série, on trouve immédiatement le 
développement, convergent dans tout le plan, 
—=_ --- •. 
5.5! 4.4! 
(*) Cette lettre et les lettres voisines, ce sont celles où Gauss a explique 
ses idées sur l’intégration complexe, anticipant ainsi une partie des 
découvertes fondamentales de Cauchy. D’ailleurs, je me suis permis une 
légère modification aux notations de Gauss. 
(I G) E/(z) = C -4- logr — z 
2 . 2 ! 
