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C étant la constante d’intégration. 11 résulte de ce dévelop¬ 
pement que la fonction E i(z) est multiforme, mais que la diffé¬ 
rence E i[z) — logs est une fonction entière transcendante de 
Par conséquent, pour rendre E i(z) fonction uniforme de la 
variable, il nous suffit de faire une coupure dans le plan, le 
long de l’axe réel négatif. Dans le plan ainsi modifié, il est 
permis de supposer quelconque, dans l’intégrale (15), le 
chemin d’intégration de l’infini positif à la limite supérieure, 
et l’on a pour les points sur les deux côtés de la coupure : 
lim Ef(— a ei) — E/(— a — ei) ------ 
Ces déterminations établies, on reconnaît aisément que la 
fonction Ei est réelle (et négative) pour des valeurs positives 
de la variable, qu’elle est de la forme a dtz rà sur les deux 
côtés de l’axe réel négatif, et qu’à des valeurs complexes conju¬ 
guées de la variable appartiennent des valeurs complexes 
conjuguées de la fonction. La connexion avec le logarithme 
intégral est donnée par l’équation 
Quant à la constante d’intégration C, on sait qu’elle est égale 
à la constante de Mascheroni. En effet, on a, pour des valeurs 
positives de z, 
et, par soustraction de la formule 16), 
= C - 4 - log (1 z) — 3-4- 
2 2 ! 3 . 3 ! 
-4- 
oc 
