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Remarquons encore en passant que la somme S peut être 
représentée sous une autre forme qui est également propre à 
préparer le développement en une série semi-convergente. 
En effet, si l’on transforme l’intégrale dans la somme 
/ ,CC e ~ tI(,x 
n=i J 2 *ih 
O 
g—2Ti7i;n-f) 
x — ih 
QÏT\h(u -V) \ 
x -4- 2?r/ lit 
par la substitution x = %rJix f et qu’on applique ensuite la série 
logarithmique, on trouve : 
-h j 
* eo 
los [| _ e | 0iç ri _" +,a )] 
- 1 ilx ---- dx 
X 4- l 
X - l 
ou bien, si l’on préfère la représentation réelle, 
S 
— 2 e 
si il 2?r(« — v) 
—■ x arc te-— - - 
I “ e 2Tl,jr — cos 2a-(a — v) 
~ 27lx cos 2»-(a — v) 4- e“ l7l,r ) • 
Cette expression correspond et devient, pour v = a , égale à la 
forme que Schaar a donnée au reste de la série de Stirling (*). 
Posons maintenant a — v = 6; on sait que 
%(*, b) = t„(6 ) 
'i'i (b) i V.b) . 'h'b) , 
- X 4-X" 4-X 4 ■ • • 
4 2! 5! 
*¥ r (b) désignant la fonction bernoullienne de l’ordre r+ 1, 
qui est définie par l’expression 
'r, 
.(»)= 2 (-b„ 
ri 
(2/i)!(r — 2/i 4-1)! 
-i A 
v r+,_M - v r 
1 
ô 
Vr 4 - 11 
pp] désignant le plus grand nombre entier contenu dans 
r4-l 
(*) Mém. de l’Acad. de Belgique, t. XXII. 
