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tions à indice impair procédant suivant les cosinus. Les déve¬ 
loppements trigonométriques sont vrais aussi pour les limites 
de l’intervalle 0 < b < 1, excepté le premier, dans lequel il 
faut exclure les extrémités de l’intervalle. 
En introduisant les développements (21) et (22) dans la 
formule (18®), on obtient 
(23) . 
T t (6) v\(b) m 5 (6) 
- -4- - 4- -- -4- • • 
v 2 c' 2 3>:° 
i {b) 
(n — 1) v n i 
0 
y_-_ 
oo ( < 2nih) n (x -4- 27u/*) 
On a donc pour la fonction gamma la généralisation suivante 
de la série de Stirling 
logr(u -f- b) = 
1 
2 
log 27T -4- 
log V — V 
'Vi(b) y*(6) 
- -i- -- -+-••• -- -f- K . 
v 2t ,i (n— 1) i 1 " -1 
dans laquelle le reste R est défini par l’intégrale 
(25). . R = (—!)" 
ft=4oc g2T»/»& 
e~ vx x n ~ l dx 'S 1 - 7 -— 
oc (27r ihy\x 2tu7«) 
La quantité u est soumise à la condition 0^ b ^ 1 (*), et pour 
les valeurs extrêmes 0 et 1 on obtient la série ordinaire de, 
Stirling, puisque 
t 2 „(o) = 0 , 'r 2fl _ i (o) = (— 
» 
Ces points étant établis, tout revient à étudier et à évaluer le 
(*) Il serait possible de lever cette restriction en expulsant la forme 
trigonométrique et dans les fonctions W r [v) et dans l’intégrale R; cepen¬ 
dant, je ne sais si, après cela, la discussion et l’évaluation si nécessaires 
du reste R peuvent encore réussir. 
