les mêmes termes du premier et du second degré. Pour une 
valeur de x infiniment petite du premier ordre (s), elles seront 
vérifiées chacune par une seule valeur de y infiniment petite 
du second ordre (ri, et r l2 ). Les relations entre ces quantités 
sont de la forme 
'Pi(e, «fi) +- -4- brfl 2/i*, = 0, 
tt[E ■+- ■+■ 6(^2 “4" 2/i^ 2 ' — 0. 
Par soustraction, on obtient 
(ÿ-2 ““ Ÿl) (2 /m 6^4 6^-2 -h 2 fi) = >/i). 
Puisque /i n’est pas nul, sans quoi l’origine serait un point 
double, la quantité entre parenthèses a une valeur finie; or le 
second membre est au moins du troisième ordre infinitésimal ; 
donc il en est de même de y) 2 —ru, ce qui prouve que les 
courbes sont osculatrices. 
On peut raisonner autrement : la courbe représentée par 
l’équation ÿ(x,y) = 0 passe par les points d’intersection 
de (2) et de (C); mais elle a un point triple à l’origine; donc 
elle ne rencontre la courbe (2) qu’en 2 n — 3 autres points et, 
par suite, (2) et (C) ont, en 0, trois points communs coïn¬ 
cidents. 
Enfin, on démontre encore le théorème en considérant la 
formule habituelle du ravon de courbure : 
%/ 
(\ -4- y T 2 
Dans le calcul de y’ et y ", les termes de ^(æ, y), soumis 
seulement à deux dérivations, contiendront toujours les coor¬ 
données x et y au moins au premier degré; et, comme les 
coordonnées de O sont nulles, ces termes disparaissent des 
