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d’une courbe algébrique plane en un point multiple, et, pour 
plus de simplicité, soit d’abord un point double à tangentes 
réelles distinctes. 
Ce point étant pris pour origine 0, l’équation de la courbe (C) 
d’ordre n est de la forme 
y) a v x~° h- a^y -+- a^xy- -4- -+- 6,x 2 4- b t xy -+- b z y 2 = 0. 
On a désigné par (x, y) l’ensemble des termes de l’ordre 
le plus élevé jusqu’au quatrième inclusivement. 
Négligeant ces termes, nous aurons l’équation d’une cu¬ 
bique (T) ayant un point double en 0 et dont chaque branche 
est osculatrice à une branche de la courbe (C). 
En effet, les courbes (C) et (T) ont en 0 les mêmes tangentes 
représentées par 
h- b^xy ■+- b^j* = 0. 
Le nombre total des intersections des deux courbes est 3 n; 
le fait d’avoir un point double commun et mêmes tangentes 
en ce point compte pour six intersections ; mais la ligne repré¬ 
sentée par 
y) = ° 
passe par toutes les intersections de (C) et de (T), et comme 
elle a, en 0, un point quadruple, qui est double sur la cubique, 
et qui compte ainsi pour huit intersections, il en reste encore 
3 n — 8, différentes du point 0. 
Ce raisonnement laisse subsister une incertitude : les courbes 
pourraient avoir un contact du troisième ordre pour une de 
leurs branches, du premier ordre pour l’autre. Aussi donne¬ 
rons-nous une autre démonstration du théorème actuel. 
Prenons pour axe des x une des tangentes au point double : 
les formules de transformation étant homogènes, les équations 
