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des deux courbes auront encore les mêmes termes du second 
et du troisième degré, et seront de la forme 
y) - 4 - m t x 5 -+- m&fy -+- m z xy 2 •+- mpf -h p,xy -+- p^f — 0, 
m { x z -+- m^x-y -+- m z xy 2 -4- mpy z -4- p y xy - 4 - p^if — 0. 
Elles sont vérifiées pour une valeur £ de æ infiniment 
petite du premier ordre, avec une seule valeur de y infini¬ 
ment petite du second ordre, savoir 7 ), pour la première 
courbe, r l2 pour la seconde. Par soustraction, on obtient alors 
Dans le premier membre, on peut mettre vp—vp en évidence, 
et la quantité entre parenthèses sera un infiniment petit du 
premier ordre; comme le second membre est au moins 
du quatrième ordre infinitésimal, rp — vp est au moins du 
troisième ordre; donc les branches de courbes tangentes à 
l’axe des x sont osculatrices, et il en sera de même des autres 
branches, de sorte que le théorème est démontré. 
14 . Ainsi toute courbe d’ordre 11 ayant un point double, 
a, en ce point, les mêmes courbures qu’une certaine cubique 
nodale (T) dont l’équation est facile à trouver. Nous croyons 
inutile de dire comment on la cherche quand le point double 
n’est pas l’origine, tant la chose est aisée d’après tout ce qui 
précède. 
On verra de même que cette cubique (T) est homothétique 
à la cubique polaire du point considéré, que celui-ci est le 
centre de similitude et que le rapport d’homothétie est n — 2. 
On a donc les théorèmes suivants : 
En un point double, à tangentes réelles séparées, d'une courbe 
algébrique d'ordre n, les courbures sont égales à (n — 2) fois les 
courbures de la cubique polaire de ce point. 
Les courbures, en un point O, d’une courbe d'ordre n, et des 
