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courbes polaires successives de ce point , forment une progression 
arithmétique décroissante jusqu'à zéro , même si 0 est un point 
double. 
15 . Mais la méthode peut être appliquée à la recherche des 
courbures au point double de la cubique elle-même. 
L’origine étant le nœud, soit en coordonnées cartésiennes 
rectangulaires ou obliques, l’équation d’une telle cubique : 
UjX 3 ■+• a^y -h a z xy* -+- a^f -+- 6,x 2 -+- 6 2 xî/ b 3 y 2 = 0. 
Soient aussi deux coniques passant par l’origine : 
Ax 2 -+■ B xy -4- Ch/ 2 -+- Fy - 4 - Gx = 0, 
A,x 2 h- B { xy h- C|î/ 2 -h F \y h- G,x — 0. 
Pour qu’elles soient osculatrices chacune à une des branches 
de la cubique, il faut que le produit des deux derniers poly¬ 
nômes ait les mêmes termes du second et du troisième ordre 
que l’équation précédente; de là sept relations entre dix coeffi¬ 
cients indéterminés, dont trois peuvent donc être pris arbitrai¬ 
rement. Si Ton fait A d = C* = 1 et = 2 cos w (w étant 
l’angle des axes), la seconde conique sera le cercle osculateur 
à l’une des branches. 
Afin de simplifier les calculs, on peut prendre pour axes les 
tangentes au point double et mettre l’équation de la cubique 
sous la forme 
a { x z -+- a^X'y -4- i/ 3 x?/ 2 -+■ a t y z -+- xy = 0. 
On a immédiatement deux coniques osculatrices à la courbe 
en écrivant 
cqx 2 -i- a z \f h- y = 0, 
o 2 x 2 -4- apf -4- x == 0. 
