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(dans lesquelles le plus grand commun diviseur de xet y divise le 
plus grand commun diviseur de a et mj. En particulier si a et m 
sont premiers entre eux, am admettra une représentation propre 
par la forme principale. (Le théorème ne suppose pas a et m 
premiers avec D.) 
En effet, la classe K renferme une forme ayant pour premier 
coefficient a (*) et capable de fournir une représentation 
propre de m telle que 
cf 2 -+- 2 b%y -i- cy~ = m. 
Comme y est premier avec £, tout diviseur commun de y et de 
l’une des deux quantités a ou m divise nécessairement ces trois 
nombres. Si donc on désigne par B le plus grand commun 
diviseur de a , y et m (qui divise celui de a et m), | sera premier 
avec a et m et par suite avec am. Cela posé, multiplions l’équa¬ 
tion précédente par a , et posons a\ ■+- by = x, il vient 
x 2 — D \f- — am 
et B étant le plus grand commun diviseur de y et am, le 
théorème est démontré, car tout diviseur de x et y divise am et, 
par suite, B. 
13. Théorème III. — Un nombre premier impair , premier 
avec D, ou une puissance a p d’un tel nombre, n’est représentable 
que dans deux classes opposées . 
En effet, dans ce cas, la congruence 
or == I) (mod a p ) 
n’a que deux racines distinctes ± b; dès lors, comme on le 
(*) Dirichlet-Dedekind, 4 e sect., §60, 12. 
