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24. Théorème X. — Si un produit tel que mX 2 , premier à 2D, 
est représentable par la forme principale, toute classe capable de 
représenter m sera formée par duplication. Ce théorème subsiste, 
même dans le cas où la représentation supposée de mX 2 par la 
forme principale ne serait pas une représentation propre. 
Désignons par A un nombre premier avec 2D et avec mX 2 , 
représentable par la même forme que m ; posons A = a/i 2 , a ne 
contenant aucun facteur carré ; le produit Am = ah?m sera 
représentable par la forme principale (théorème II), et nous 
pourrons écrire les deux équations (x et y n’étant pas néces¬ 
sairement premiers entre eux) 
x 2 mX\ §’ — D vf = ah* ni, 
d’où l’on tire, en multipliant membre à membre, 
(ar — D y*) (Ç 2 — D>f) = (arf -+- D yvff — D (anf -+- yçf = ah 2 (mX) 2 
t 
Cette équation est de la forme 
m 2 — Dît == air (mX) 2 . 
Si la représentation fournie par cette équation n’est pas une 
représentation propre, soit a (3 le facteur commun de u et de v , 
a divisant h et jü divisant mX; en supprimant ce facteur 
commun, on trouvera 
Mais A étant premier avec mX, les deux facteurs a (^) 2 > (~f)~ 
sont premiers entre eux : ont peut donc appliquer le théo¬ 
rème VIII et conclure de l’équation précédente qu’il existe une 
même classe capable de représenter a I - et —J . Cette classe 
