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pouvant représenter un carré premier à 2D savoir sera 
formée par duplication. Par conséquent, en vertu du théo¬ 
rème IX, toutes les classes capables de représenter a j ^-J 2 seront 
aussi formée par duplication. Nous pouvons donc désigner 
par K? l’une d’entre elles : parmi les classes également formées 
par duplication qui peuvent représenter a 2 , il y en a au moins 
une (théorème VII), par exemple Kf, telle que la classe K 2 Kf 
puisse représenter 
Donc toutes les classes qui peuvent représenter A seront formées 
comme celle-ci par duplication (théorème IX) et enfin, comme 
A et m sont représentables par une classe commune, une des 
classes capables de représenter m sera formée par dupli¬ 
cation et, par conséquent, elles le sont également toutes 
(théorème IX). 
Si m est de la forme (4-+-1 ), on peut encore dans l’énoncé 
du théorème précédent faire disparaître la condition que X soit 
impair. Mais, pour cela, nous devons nous appuyer sur deux 
lemmes, qui nous seront encore utiles plus tard et que nous 
allons démontrer. 
25. Lemme I. — Si D est de la forme 8n-*-d, Y équation 
A 2 — Dp? = 4M 2 
dans laquelle on suppose X et p premiers entre eux, peut être 
résolue pour des valeurs (nécessairement) impaires de M et pre¬ 
mières avec un nombre impair arbitrairement donné N. 
Pour le montrer, soient £ et ri deux nombres impairs, dont 
le premier n’admet aucun des diviseurs de D ni de N et dont le 
second les admet tous; en substituant ces deux nombres dans 
