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C’est une équation de la forme 
SÎ-D^ = 4(2M ,) 2 , 
dans laquelle et vérifient les mêmes conditions que £ et y\. 
En répétant donc suffisamment l’opération que nous venons 
d’effectuer, il est clair qu’on rendra le second membre divi¬ 
sible par une puissance arbitrairement grande de 2, sans qu’il 
cesse d’être premier avec N. 
Ces principes posés, nous pouvons généraliser de la manière 
suivante le théorème X. 
27. Théorème XI. — Si> le déterminant D étant impair, m est 
de la forme 4n-+-l, et si le produit mX-, premier à D, admet une 
représentation (propre ou non) par la forme principale, toute 
classe capable de représenter m sera formée par duplication. 
On a, en effet, par hypothèse, x étant premier à D, 
x 2 — D y- — mX 2 , 
D’ailleurs on peut admettre que x et y sont impairs et X pair; 
car, pour X impair, on est ramené au théorème X, et 
si x , y et X sont tous les trois pairs, on peut supprimer des 
puissances de 2 sans changer la forme de l’équation. 
Ensuite, mD 2 étant de la forme 4n-+-l, on peut poser en vertu 
des lemmes précédents, Ç etr* étant impairs et £ premier avec D, 
§ 2 __ m (Dyf = 4M 2 
et, en multipliant membre à membre avec l’équation 
x 2 — wX 2 = D ij\ 
il vient 
(Sx -+- wîDj,) 2 — m (§X -+- Dxtf = D (2M yf 
