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En effet, si K et K! sont deux classes du même genre, on 
obtient K { en multipliant K par K d K -1 qui est une classe du 
genre principal car elle est formée du produit de deux classes 
du même genre K, et K -1 (qui est du même genre que son 
opposée K comme représentant les mêmes nombres). Récipro¬ 
quement (111), le produit de K par une classe du genre princi¬ 
pal a le même genre que K. 
On a d’abord le théorème suivant : 
32. Théorème. — Le nombre des éléments fondamentaux du 
groupe des genres ne peut surpasser le nombre des éléments 
fondamentaux du groupe des classes qui appartiennent à un expo¬ 
sant pair. 
Comme toute classe formée par duplication appartient au 
genre principal (31, II) et que le produit d’une classe K par une 
classe du genre principal est du même genre que K (31, III), 
on voit que le genre d’une classe K, exprimée à l’aide des élé¬ 
ments fondamentaux (5) 
K = ... C* 
est le même que celui de la classe 
K' = C.C* ... C, 
composée du simple produit des facteurs qui entrent à une 
puissance impaire dans K. En outre, on peut encore négliger 
dans K' les éléments fondamentaux qui appartiendraient à 
un exposant impair, ceux-là étant tous du genre principal 
(31, IV). — Le genre de K est donc complètement déterminé 
par le genre des éléments fondamentaux du groupe des classes, 
qui concourent à sa formation, et appartiennent à des expo¬ 
sants pairs. Il en résulte, à l’évidence, que le groupe des élé¬ 
ments fondamentaux du groupe des genres ne peut surpasser 
le nombre des éléments dont nous venons de parler. 
