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35 . Remarque I. — Les énoncés des théorèmes des n os 8 
et 33 supposent implicitement qu’il y ait plusieurs genres et 
plusieurs classes bilatères. Il peut se faire cependant qu’il n’y 
ait qu’un seul genre : le principal, et qu’une seule classe bila- 
tère : la principale. Dans ce cas, il n’y a plus de groupe; 
cependant les théorèmes que nous venons de rappeler ne 
deviennent pas illusoires : ils établissent que cette circonstance 
ne peut se produire que si toutes les classes fondamentales du 
groupe des classes appartiennent à des exposants impairs et 
le corollaire du n° 34 demeure toujours vrai. 
36 . Remarque II. — Le corollaire du n° 34 résout complè¬ 
tement la question de l’énumération du nombre des genres. 
Il ramène cette énumération à la détermination du nombre des 
classes bilatères proprement primitives et cette détermination 
se fait par des procédés élémentaires et sans aucune difficulté^). 
On trouve directement que ce nombre est égal à la moitié du 
nombre des combinaisons que l’on peut faire avec les carac¬ 
tères particuliers, c’est-à-dire précisément ce nombre 2 A ~ 1 que 
nous avons trouvé au n° 29. Le problème de la détermination 
du nombre des genres est donc résolu. Mais il reste encore à 
démontrer le théorème qui sert de base à la démonstration 
du n° 33, à savoir que toute classe du genre principal peut se 
former par duplication. Le dernier chapitre sera consacré à 
l’établir d’une manière générale. Mais auparavant, il nous paraît 
intéressant d’indiquer quelques cas particuliers remarquables 
qui se résolvent complètement au moyen des résultats énoncés 
précédemment. 
Le cas le plus intéressant est celui où le déterminant D posi¬ 
tif ou négatif est premier et de la forme 4 h + 1. La recherche 
directe montre qu’il n’y a plus alors qu’une seule classe bila- 
tère, la principale. La remarque du n° 33 s’applique. Par con¬ 
séquent, toutes les classes appartiennent à un exposant impair; 
O Dirichlet-Dedekind, Supplément X, § 153. 
