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nombre donné A, premier à 2D, par un carré X, non donné 
mais premier à 2D et, en général , à un nombre quelconque , est 
que le nombre A soit représentable par une forme du détermi¬ 
nant D et du même genre que (a, b, c). 
Supposons, en effet, que cette condition se vérifie et soit K 
la classe dans laquelle A se représente; toutes les autres classes 
du même genre, parmi lesquelles se trouve celle de [a, b , c), 
s’obtiennent en comparant K avec des formes du genre princi¬ 
pal (31, V) qui sont formées par duplication. Soit K? celle de 
ces classes qui composée avec K produit la classe KKf à laquelle 
appartient ( a , b , c); la forme (a, b, c ) pourra représenter les 
produits de A par la série illimitée des carrés des nombres 
premiers avec 2AD (ou même avec un nombre arbitrairement 
choisi) qui peuvent être représentés par la classe Kj (Th. I, 
n° 10). D’autre part, cette condition est nécessaire parce que 
les caractères quadratiques de AX 2 et de A sont identiques. 
38. Théorème. — Pour un déterminant impair D toutes les 
classes du genre principal peuvent se former par duplication. 
Pour établir ce théorème, nous montrerons qu’il subsiste 
pour le déterminant D, s’il est vrai pour les déterminants infé¬ 
rieurs en valeur absolue. Comme le théorème est nécessaire¬ 
ment vrai pour les déterminants suffisamment petits, pour 
lesquels il n’y a plus qu’une seule classe du genre principal, 
le théorème sera démontré. 
Nous nous appuierons sur le résultat suivant, emprunté à 
la partie élémentaire de la théorie des formes binaires (*) : 
Toute forme proprement primitive du déterminant D peut 
représenter un nombre impair m inférieur à D en valeur 
absolue; de plus, si D est de la forme 4n 1, on peut aussi 
supposer ce nombre m de la forme 4/t -4- 1. 
Nous supposerons enfin, dans la démonstration que nous 
(*) Voir la note complémentaire k la fm du mémoire. 
