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allons faire, que le déterminant D ne renferme aucun facteur 
au carré. Nous ferons ensuite disparaître cette restriction dans 
une remarque finale. 
Cela posé, soit K une classe quelconque du genre principal 
et m un nombre impair de la forme 4n h- 1, inférieur à D en 
valeur absolue et représentable par cette classe (*). Ces hypo¬ 
thèses sont compatibles : 1° pour D = 1 (mod 4), en vertu du 
résultat rappelé il y a un instant, et aussi 2° pour D = 3 (mod. 4), 
car le genre principal ne représente pas, dans ce cas, d’autres 
nombres impairs que ceux de la forme 4 n 1 (30, II). 
Premier cas : m est premier avec D. 
La démonstration est immédiate. Le nombre m étant résidu 
quadratique de D et D de m, D sera représentable par une 
classe du déterminant m appartenant au genre principal. Mais 
ce nouveau déterminant étant inférieur à D, le lemme du n° 37 
est supposé s’appliquer et l’on peut poser 
x 2 — mif = DXl 
On en tire 
x 2 — DX 2 = mif. 
Or, m est de la forme 4 n -*= 1, par conséquent le théorème XI 
du n° 27 prouve que toutes les classes capables de représen¬ 
ter m, et la classe K en particulier, sont formées par dupli¬ 
cation. 
(*) On suppose dans la démonstration que m n’est pas un carré positif, 
car si cela était, m serait premier avec D, parce qu’on suppose que D ne 
renferme pas de diviseurs carrés et qu’on a une congruence de la forme 
b- = D (mod m) 
et il n’y aurait plus lieu k démonstration (n° 9). 
