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sente donc, au moins improprement, par la forme principale. 
D’ailleurs tj est ici impair et premier à D [voir l’équation (3)]; 
donc le théorème X s’applique et prouve que toute classe 
capable de représenter A peut se former par duplication. Ce 
sera vrai, en particulier, pour la classe K que nous avons 
considérée. 
Deuxième cas : D = 4D { est le quadruple d'un nombre impair. 
Soit K une classe quelconque du genre principal; elle pourra 
représenter un nombre impair m premier à D et ce nombre 
sera nécessairement de la forme 4 n -+- 1 (30, III). Dans ce cas, 
le nombre m sera représentable par une classe du genre prin¬ 
cipal du déterminant D x . On pourra donc poser, le lemme du 
n° 37 étant supposé s’appliquer au déterminant D t qui est 
inférieur à D, 
x ' 1 — D,?/- = mX \ 
et on en tire 
(I ). x 1 — mX 1 = Dpj -. 
Mais on peut aussi poser, puisque m est de la forme (4n -4-1), 
en vertu des lemmes n os 25 et 26, 
(-2).à 2 — nifJ = 4M 2 
et supposer M premier avec D py, si y est impair. 
Si y est pair, l’équation (1) peut s’écrire 
et prouve (th. X, n° 24) que toute classe capable de représen¬ 
ter m est formée par duplication. 
Si y est impair, les équations (1) et (2) prouvent que les deux 
