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Donc les deux nombres 2Det 4*M 2 se représentant par la 
même forme du déterminant m, leur produit se représentera 
(au moins improprement) par la forme principale du détermi¬ 
nant m (n° 12). Nous pouvons poser 
u 1 — mv 2 ~ 2D, • 4"(2*-"M yf = D(2*-"M yf. 
De plus, on peut supposer (n° 12) que le plus grand com¬ 
mun diviseur 8 de u et de v divise 2Det 4*M 2 ; par suite, 
8 devra diviser 4*; et k étant arbitrairement grand, on peut 
supposer que 8 divise 2*" M . 
Il vient alors, en divisant l’équation par 8 2 , 
Le carré ||j” étant premier avec 2D, on peut appliquer le 
théorème X du n° 24 et conclure de cette équation que la 
classe K, comme toute classe capable de représenter m, est 
formée par duplication. 
Nous pouvons, en terminant, répéter, sans restriction, le 
théorème fondamental, énoncé en tête de ce chapitre, et qui 
nous apprend que les nombres premiers à D, représentables 
respectivement par deux classes de formes proprement primi¬ 
tives d’un même genre, se reproduisent d'une classe à l’autre 
multipliés par des facteurs carrés. 
Théorème. — Soit (a, b, c) une forme de Vordre proprement 
primitif du déterminant D, et m un nombre donné premier à 2D; 
la condition nécessaire et suffisante pour que Véquation 
(a, b, c) — mX 2 
où X est une inconnue soit résoluble est que m soit représentable 
par une forme du déterminant D et du même genre que (a, b, c). 
