NOTE COMPLEMENTAIRE 
SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES FORMES BINAIRES. 
Nous avons admis, au cours de la démonstration que nous 
venons de faire, quelques propriétés des formes binaires, 
faciles à déduire de la considération des formes réduites. 
Nous croyons utile d’en développer ici les démonstrations. 
Théorème I. — Toute forme proprement primitive du déter¬ 
minant D, positif, non carré et y 5, est équivalente à une forme 
(m, b, m'), dont le coefficient du milieu est pair et dont les coeffi¬ 
cients extérieurs sont inférieurs à D en valeur absolue. 
Considérons une forme réduite [m, b, m'). Ses coefficients 
sont, comme on le sait (*), assujettis aux inégalités : 
O < 1/D — 6 < I m I < l/D - 4 - 6 < “2 l / D, 
O < V/D — b < | m' 1 < 1/5 + 6 < 2 l/D. 
On reconnaît d’abord que [sauf pour D<4, cas que nous 
excluons] les nombres | m | et | m' | sont inférieurs à D. 
Ensuite m ou m' est impair, sans quoi la forme ne serait pas 
proprement primitive. Nous pouvons admettre, pour fixer les 
idées, que m soit impair. 
Si b est pair, le théorème est donc démontré. 
Si b est impair, on remplacera la forme (m, b , m') par la 
forme équivalente 
(■m , 6— | m | , m”) 
dont le coefficient du mileu est pair et dont le dernier coeffi¬ 
cient m" est encore, comme nous allons le voir, inférieur 
O Dirichlet-Dedekind, § 74. 
