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En effet, b étant pair dans la forme (m, b , m'), la relation 
b 2 — mm' = D fournit la congruence 
m»i' = — 1 (mod 4), 
de sorte qu’un des deux nombres m ou m’ est de la forme 4n-t-l 
et l’autre de la forme 
D’autre part, le théorème est vrai pour les formes de la classe- 
principale qui peuvent représenter l’unité. Il est donc vrai 
pour les déterminants négatifs et les déterminants positifs > 6. 
On peut constater qu’il est encore vrai pour D = 5 : il est donc 
vrai sans exception. 
Corollaire III. — Si D est le double d’un nombre impair, 
toute forme proprement primitive du déterminant D peut repré¬ 
senter nn nombre m inférieur à D en valeur absolue et égal au 
double d’un nombre impair. La classe principale peut cependant 
faire exception, pour un déterminant négatif. 
En effet, b étant pair dans la forme (m, b, m'), la relation 
b- — mm' — D donne la congruence 
mm! = 2 (mod 4), 
de sorte que l’un des nombres m ou m ' est impair et l’autre 
égal au double d’un nombre impair. 
Le théorème ne s’applique évidemment pas pour D = 2, et, 
en effet, dans ce cas le théorème 1 ne s’applique pas. Mais 
c’est la seule exception, car D = 4 est un carré (cas qu’on 
exclut) et le théorème I est démontré pour D > o. 
