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correspondance qui existe entre les équations et les con¬ 
gruences binômes, et il imagine une association si merveil¬ 
leusement appropriée de leurs racines respectives, qu’elle 
semble démêler du premier coup toutes les difficultés de la 
question. Cependant, à cause d’un point unique et tout parti¬ 
culier, cette démonstration, qui se présentait d’abord comme 
une application toute naturelle de la théorie des congruences, 
vient se heurter à une difficulté inattendue. Pour la vaincre, il 
faut recourir à des propriétés bien autrement cachées et diffi¬ 
ciles qui rejettent le théorème à établir au delà des parties 
élevées de la théorie des formes quadratiques. 
En effet, la démonstration échoue, à moins de justifier que 
la somme d’une certaine série 
^ %in) 
dans laquelle 
%(/<) = a- I ou — 1 
est différente de zéro. La solution de cette difficulté résista 
longtemps à la pénétration de Dirichlet, et ce fut une heureuse 
chance pour la théorie des nombres, car cette recherche mit le 
grand mathématicien sur la voie de ses plus belles découvertes 
dans la théorie des formes quadratiques, la détermination du 
nombre de classes pour un déterminant donné. C’est là que 
l’on trouve encore aujourd’hui la solution de la question (*). 
On obtient, en effet, pour le nombre des classes, une expres¬ 
sion qui renferme une pareille série en facteur et, par consé- 
(*) Dans le manuscrit présenté d’abord à l’Académie de Berlin, 
Dirichlet démontrait le théorème « par des considérations indirectes et 
assez compliquées », comme nous le savons par lui-même (Werkc, 
p. 342); mais cette démonstration primitive, abandonnée par son auteur 
lors de la publication du mémoire, nous est inconnue. — Dirichlet 
indique, en outre, une démonstration directe assez simple dans le cas où 
M est premier, mais celle-ci ne s’étend pas au cas général. 
