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quent, celle-ci ne peut être nulle. Que l’on songe cependant à 
la complication des moyens qu’il faut mettre en œuvre pour 
arriver à ce résultat, on remarquera un étrange contraste 
entre la simplicité du théorème à établir et l’extrême 
multiplicité des principes auxquels sa démonstration fait 
appel. 
Nous espérons, dans les pages qui suivent, exposer une 
démonstration beaucoup plus simple, qui, tout en conservant 
ce qu'il y a de véritablement essentiel dans l’idée de Dirichlet, 
permettra de placer le théorème à sa véritable place au nombre 
des premiers qui se présentent dans la théorie analytique des 
nombres. Notre démonstration n’exige, pour être comprise, 
que des connaissances presque élémentaires; elle repose 
uniquement sur les propriétés des racines des équations et, 
des congruences binômes, ainsi que sur les principes fonda¬ 
mentaux de la théorie des fonctions. Elle ne s’appuie ni sur la 
loi de réciprocité des résidus, ni même sur aucune considéra¬ 
tion relative à la théorie des formes quadratiques. Or, la place 
logique qu’il convient d’assigner au théorème n’est pas sans 
importance, car ce théorème une fois établi peut rendre bien 
des services pour simplifier les questions ultérieures. 
II. 
Nous avons d’abord à étudier de près les propriétés de cer¬ 
taines fonctions qui vont jouer un rôle essentiel dans la suite. 
La première est la fonction Ç(s) de Riemann 
«".'w-Jj-iK'-jP 
la sommation s’étend, comme on le sait, à tous les nombres 
entiers il, le produit h tous les nombres premiers q successifs. 
