Ces deux expressions sont absolument convergentes, que s 
soit réel ou complexe, pourvu que la partie réelle de s (que 
nous désignerons dorénavant par éR ( s )) soit supérieure 
à l’unité. De plus, la convergence sera uniforme pour 
cil (s) >!-*-£, quelque petit que soit le nombre positif s, 
parce que la série et le produit infini convergent déjà pour 
s = 1 -+- s et convergent plus rapidement pour les autres 
valeurs de s que pour celles-là. Il en résulte que la fonction 
Ç (s) est une fonction synectique de s pour çR(s) > 1. Toutes 
ses dérivées sont dans le même cas et peuvent s’obtenir sans 
difficulté au moyen des équations (1) par des dérivations suc¬ 
cessives (*). 
Si la partie réelle de s descend au-dessous de l’unité, les 
expressions (1) ne représentent plus rien. Mais la fonction £($) 
ne cesse pas d’exister et son prolongement analytique s’obtient 
facilement. Il sutïit pour cela d’appliquer un des principes les 
plus féconds de l’analyse, savoir que deux fonctions uniformes 
qui coïncident dans une portion du plan coïncident néces¬ 
sairement dans toute l’étendue où elles sont uniformes. Ce 
principe peut conduire de bien des manières au résultat que 
nous cherchons. La méthode suivante nous paraît être la plus 
élémentaire et en même temps la plus directe. 
On a par une simple intégration par parties 
j 
0 ü 
(*) Les théorèmes généraux auxquels nous faisons ici appel sont 
rarement énoncés d’une manière précise dans les ouvrages classiques : 
on en trouvera les démonstrations rigoureuses dans notre Note sur les 
applications de la notion de convergence uniforme dans la théorie des 
jonctions d'une variable complexe. (Annales de la Société scientifique 
de Bruxelles, t. XVII, 2 e partie, 1893.) 
dx 
1 
(u -+- xY [n u- l)' s 
•A 
xdx 
n 
x )S+l 
