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et cette nouvelle série sera encore uniformément convergente 
quand s variera de manière à vérifier la condition (s( > s. 
Par conséquent, en vertu du théorème déjà utilisé tout à 
l’heure, la somme de cette série est une fonction synectique 
de 5 pour toutes les valeurs de s situées à droite de l’axe 
imaginaire. 
Le véritable caractère de la fonction Ç( s ) apparaît alors dans 
l’équation (2) : c’est une fonction méromorphe de s dans la 
partie du plan située à droite de l’axe imaginaire et elle n’y 
admet qu’un pôle unique et simple, 5 = 1. Ajoutons à cette 
propriété que la fonction Ç(s) ne peut s’annuler pour aucune 
valeur de s telle que $ (s) > 1, comme cela résulte de son 
expression (1), sous forme de produit infini, et nous aurons 
énuméré toutes les propriétés de la fonction qui vont nous 
servir plus tard. 
En effectuant de nouvelles intégrations par parties au second 
membre de l’équation (2), il serait facile d’étendre la fonction 
^ (s) à gauche de l’axe imaginaire, mais nous n’avons que faire 
ue ce nouveau prolongement pour le moment. 
III. 
La fonction de Riemann n’est pas la seule qui intervienne 
dans notre démonstration, il y en a d’autres qui s’expriment 
sous forme de séries analogues telles que 
x(n) 
n s 
Les fonctions %(w) sont réelles ou complexes, elles sont 
liées à un certain nombre entier M et jouissent de deux 
propriétés caractéristiques exprimées dans les deux égalités : 
%(1) ■+■ %(-) ■+■ *• • •+• %(M) — 0 , 
%(m) = %(»), si m = n(inod M). 
