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On sait que toutes les racines de l’équation binôme x r " = I 
peuvent se représenter par les puissances successives 
i *i i 
1 , CO, CO , . . . CO 
de l'une d’entre elles convenablement choisie w, par exemple, 
co = cos- 1 - i sin — 
m ni 
La somme des puissances de degré h de ces racines sera donc 
£•></* _ \ 
geo" = 1 C0 A -4- C0-" -4- . . = -- 
et cette somme sera toujours nulle, à l’exception du cas h = 0 
où elle est égale à m. On reconnaît ainsi que la somme qui 
nous occupe 
s'évanouit toujours, à moins que tous les indicateurs v,, v 2 , ... 
ne soient nuis à la fois. De là le théorème : 
Pour tout nombre n, la somme étendue à la totalité des 
caractères 
8 „x(n) = 0, 
/O 
à la seule exception près du cas ou 
n= 1 (mod M), 
car alors tous les indicateurs sont nuis et Von a 
8 % %( w ) = f( M J- 
Aj 
Dans ce paragraphe, nous avons exactement suivi la marche 
adoptée par Dirichlet; à partir d'ici, nous nous en écartons de 
plus en plus. 
